\begin{activite}[Aire sous une courbe][\algo] \label{TSA6_A_methode_rectangles}
  \parbox[b][10em][t]{0.60\textwidth}{Soit $f : x \mapsto x^2 $, définie sur l'intervalle $[0\,;1]$.\\On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\,; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et on s'intéresse à l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[0\,;1]$.\\Ce domaine n'étant pas polygonal, on ne connaît (pour l'instant)\linebreak aucune formule permettant de calculer son aire.}
\parbox[b][10em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][10em][t]{0.38\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
 \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
 \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x});
 \draw(0.5,0.25) [color=B2] node[above left] {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] (0,0) --
 		plot[domain=0:1] (\x,{\x*\x}) --
 		(1,0) -- cycle;
 \draw[color=C1] (0.75,0.25) node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
\end{tikzpicture}}

\vspace{-2mm}

\begin{partie}[Premiers calculs]
\vspace{-2em}
\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement (grossier) de l'aire $\mathscr{A}$ du
  domaine $\mathscr{D}$.
 \item Découpons l'intervalle $[0\,;1]$ en deux parties égales et par
   conséquent le domaine $\mathscr{D}$ en deux sous-domaines
   $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$. Ces domaines ne sont toujours
   pas polygonaux mais on peut tracer des rectangles, respectivement
   dits «inférieurs» et «supérieurs», qui permettent d’encadrer leur
   aire.
 \begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   %courbe
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x});
   %graduations
   \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\frac{1}{2}$};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   %domaines
   \draw[color=G1] (0.25,0.0625) node[above]{{\boldmath $\mathscr{D}_1$}};
   \draw[color=F1] (0.75,0.6625) node[above]{{\boldmath $\mathscr{D}_2$}};
   \fill[color=G1, opacity=0.2] (0,0) --
 		plot[domain=0:0.5] (\x,{\x*\x}) --
 		(0.5,0) -- cycle;
   \fill[color=F1, opacity=0.2] (0.5,0) --
   		(0.5,0.25) --
 		plot[domain=0.5:1] (\x,{\x*\x}) --
 		(1,0) -- cycle;
   %rectangle
   \fill[pattern=north east lines, pattern color=J1] (0.5,0) -- (0.5,0.25) --
   												(1,0.25) -- (1,0) -- cycle;
   \draw[thin, color=J1] (0.5,0) -- (0.5,0.25) -- (1,0.25) -- (1,0) -- cycle;
   %repère
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0) -- (1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0) -- (0,1);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   %courbe
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x});
   %graduations
   \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\frac{1}{2}$};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   %domaines
   \draw[color=G1] (0.25,0.0625) node[above]{{\boldmath $\mathscr{D}_1$}};
   \draw[color=F1] (0.75,0.6625) node[above]{{\boldmath $\mathscr{D}_2$}};
   \fill[color=G1, opacity=0.2] (0,0) --
 		plot[domain=0:0.5] (\x,{\x*\x}) --
 		(0.5,0) -- cycle;
   \fill[color=F1, opacity=0.2] (0.5,0) --
   		(0.5,0.25) --
 		plot[domain=0.5:1] (\x,{\x*\x}) --
 		(1,0) -- cycle;
   %rectangles
   \fill[pattern=dots, pattern color=D1] (0,0)--(0,0.25)--(0.5,0.25)--(0.5,0)--cycle;
   \draw[thin, color=D1] (0,0)--(0,0.25)--(0.5,0.25)--(0.5,0)--cycle;
   \fill[pattern=dots, pattern color=D1] (0.5,0)--(0.5,1)--(1,1)--(1,0)--cycle;
   \draw[thin, color=D1] (0.5,0)--(0.5,1)--(1,1)--(1,0)--cycle;
   %repère
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \end{multicols}
 
\vspace{-6mm}

 \begin{enumerate}
  \item Pourquoi, dans la figure de gauche, l'un des deux rectangles n'apparaît-il pas ?
  \item À l'aide des deux schémas, donner un encadrement de l'aire $\mathscr{A}_1$ du domaine $\mathscr{D}_1$.
  \item De même, donner un encadrement de l'aire $\mathscr{A}_2$ du domaine $\mathscr{D}_2$.
  \item En déduire un encadrement (plus fin) de l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$.
 \end{enumerate}
 \vspace{-1.5em}
 \item Découpons maintenant l'intervalle $[0\,;1]$ en trois parties égales et par conséquent le domaine $\mathscr{D}$ en trois sous-domaines $\mathscr{D}_1$, $\mathscr{D}_2$ et $\mathscr{D}_3$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire deux schémas et construire les rectangles inférieurs et supérieurs, approximant chacun des trois sous-domaines.
  \item Donner des encadrements de chacune des aires de ces trois sous-domaines et en déduire un encadrement (plus fin) de l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}

\vspace{-2mm}

\begin{partie}[Algorithme]
Plus généralement, soit $n \in \mathbb{N}^{\star}$ : on suppose maintenant que l'on découpe l'intervalle $[0\,;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude et sur chaque intervalle, on construit les rectangles inférieurs et supérieurs.

\begin{multicols}{2}
 %n=7
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   %courbe
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x});
   %graduations
   \foreach \i in {1,...,4}{
   		\draw(\i/7,0) node[below] {$\frac{\i}{n}$};
   }
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   \draw(6/7,0) node[below] {$\frac{n-1}{n}$};
   %rectangles
   \draw[thin, color=J1] (6/7,0)--(6/7,36/49)--(1,36/49)--(1,0)--cycle;
   \fill[pattern=north east lines, pattern color=J1] (6/7,0)--(6/7,36/49)--
   														(1,36/49)--(1,0)--cycle;
   \foreach \i in {1,...,4}{
   		\draw[thin, color=J1] (\i/7,0)--(\i/7,\i*\i/49)--(\i/7+1/7,\i*\i/49)--(\i/7+1/7,0)--cycle;
   		\fill[pattern=north east lines, pattern color=J1]
   			(\i/7,0)--(\i/7,\i*\i/49)--(\i/7+1/7,\i*\i/49)--(\i/7+1/7,0)--cycle;
   }
   %axes et repère
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \columnbreak
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   %courbe
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x});
   %graduations
   \foreach \i in {1,...,4}{
   		\draw(\i/7,0) node[below] {$\frac{\i}{n}$};
   }
   \draw(6/7,0) node[below] {$\frac{n-1}{n}$};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   %rectangles
   \foreach \i in {1,...,5}{
   		\draw[thin, color=D1] (\i/7-1/7,0)--(\i/7-1/7,\i*\i/49)--(\i/7,\i*\i/49)--(\i/7,0)--cycle;
   		\fill[pattern=dots, pattern color=D1] (\i/7-1/7,0)--(\i/7-1/7,\i*\i/49)--
   											(\i/7,\i*\i/49)--(\i/7,0)--cycle;
   }
   \draw[thin, color=D1] (6/7,0)--(6/7,1)--(1,1)--(1,0)--cycle;
   \fill[pattern=dots, pattern color=D1] (6/7,0)--(6/7,1)--(1,1)--(1,0)--cycle;
   %axes et repère
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
 \item Chaque intervalle est de la forme $I_k = \left[ \dfrac{k}{n} ; \dfrac{k+1}{n} \right]$. Entre quelles valeurs $k$ varie-t-il ?
 \item \begin{enumerate}
  \item Donner l'amplitude commune de chaque intervalle, c'est-à-dire la largeur commune de chaque rectangle.
  \item Quelle est la hauteur du rectangle inférieur construit sur l'intervalle $I_k$ ?\\En déduire son aire.
  \item Même question avec le rectangle supérieur.
 \end{enumerate}
 \item On propose l'algorithme suivant, permettant de calculer la somme \texttt{Sinf} des aires des\linebreak rectangles inférieurs et la somme \texttt{Ssup} des aires des rectangles supérieurs.\\
 Le compléter puis le tester dans un logiciel adapté pour de grandes valeurs de $n$.
 
 \begin{algorithme}
     %\titreAlgo{Méthode Rectangles} 
     \BlocVariables
      \DeclareVar{k,n}{entiers}{}
      \DeclareVar{Sinf,Ssup}{réels}{}
     \BlocEntree
      \Saisir{n}
     \BlocTraitements
      \DonnerValeurImmediate{Sinf}{0}
      \DonnerValeurImmediate{Ssup}{0}
      \Pour{k}{\ldots}{\ldots}{
       \DonnerValeurImmediate{Sinf}{Sinf + \ldots}
       \DonnerValeurImmediate{Ssup}{Ssup + \ldots}
      }
      \BlocSortie
       \Afficher{Sinf}
       \Afficher{Ssup}
     \FinAlgo
 \end{algorithme}
  
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{activite}

   \vspace{-5mm}


