
 \partie{Principe de la méthode}
 Dans l'activité d'introduction p. \pageref{TSA6_A_methode_rectangles}, la figure géométrique simple utilisée pour approximer un domaine était le rectangle, son aire étant très facile à calculer.\\
 Le trapèze est une autre figure géométrique simple dont l'aire est aussi facile à calculer et graphiquement, il semble proposer une meilleure approximation du domaine que le rectangle :
 
 \begin{multicols}{3}
 \def \n {3}
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{1/(1+\x*\x)});
   \foreach \i in {1,...,3}{
   		\draw[thin, color=J1] (\i/3-1/\n,0)--(\i/\n-1/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   						--(\i/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   						--(\i/\n,0)--cycle;
   		\fill[pattern=north east lines, pattern color=J1]
   										(\i/\n-1/\n,0)--(\i/\n-1/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   										--(\i/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   										--(\i/\n,0)--cycle;
   }
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \columnbreak
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{1/(1+\x*\x)});
   \foreach \i in {0,...,2}{
   		\draw[thin, color=D1] (\i/\n,0)--(\i/\n,{1/(1+\i*\i/\n/\n)})
   						--(\i/\n+1/\n,{1/(1+\i*\i/\n/\n)})
   						--(\i/\n+1/\n,0)--cycle;
   		\fill[pattern=dots, pattern color=D1] (\i/\n,0)--(\i/\n,{1/(1+\i*\i/\n/\n)})
   										--(\i/\n+1/\n,{1/(1+\i*\i/\n/\n)})
   										--(\i/\n+1/\n,0)--cycle;
   }
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \columnbreak
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=2.5, yscale=2.5]
   \draw (-0.1,0)--(1.1,0);
   \draw (0,-0.1)--(0,1.1);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {0};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {1};
   \draw[domain=0:1, color=B2, smooth] plot(\x,{1/(1+\x*\x)});
   \foreach \i in {0,...,2}{
   		\draw[thin, color=F1] (\i/\n,0)--(\i/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   						--(\i/\n+1/\n,{1/(1+(\i+1)*(\i+1)/\n/\n)})
   						--(\i/\n+1/\n,0)--cycle;
   		\fill[pattern=crosshatch dots, pattern color=F1]
   										(\i/\n,0)--(\i/\n,{1/(1+(\i/\n)*(\i/\n))})
   										--(\i/\n+1/\n,{1/(1+(\i+1)*(\i+1)/\n/\n)})
   										--(\i/\n+1/\n,0)--cycle;
   }
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{multicols}

On suppose que l'on découpe l'intervalle $[0\,;1]$ en $n$ intervalles égaux, pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ ($n=3$ sur les schémas ci-dessus) et sur chaque intervalle $[a\,;b]$, on construit le trapèze dont les longueurs des bases sont $f(a)$ et $f(b)$.

