\begin{enigme}[M48]
Un  nombre de Mersenne est de la forme  $2^p-1$  où $p$ est entier naturel.\\
   $2^0-1=0$ ; $2^1-1=1$  ;  $2^2-1=3$ ; $2^3-1=7$    ; $2^4-1=15$  ; $2^5-1=31$ ; $2^6-1=63$  ; $2^7-1=127$ ... sont des nombres de Mersenne. Parmi ces nombres certains sont premiers (3 ; 7 ; 31 ; 127 ; ...) ,  d'autres ne le sont pas (0 ; 1 ; 15 ; 63 ; ...).\\
On note $Mn$, le $n^{\text{ième}}$ nombre premier de Mersenne.
On a donc $M1=3$  ; $M2=7$ ; $M3=31$ ; $M4=127$. Ces quatre nombres étaient connus depuis l'Antiquité.

$M8=2^{31}-1 = 2\,147\,483\,647$  a été découvert par Euler en 1750, son écriture décimale comporte 10 chiffres.\\Le 25 janvier 2013, le $48\ieme{}$ nombre premier de Mersenne a été trouvé : $M48=2^{57\,885\,161}-1$.\\Combien de chiffres comporte l'écriture décimale de $M48$? \\
Indication : On pourra poser $N=2^{57\,885\,161}-1$ et exprimer $\log(N+1)$ en fonction de $\log(2)$.
\end{enigme}
