\section{Autres limites} 
\begin{propriete}[Croissance comparée]
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item Pour tout réel  $x>0$, on effectue le changement de variable : $X=\ln x$, on a alors $x=\text{e}^X$. Ainsi $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{\text{e}^X}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^X}{X}}$. Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} X=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty$ donc par limite d'un quotient  $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^X}{X}}=0$. Enfin, par limite d'une composée, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.\\
\item Pour tout réel $x>0$, on pose $X=\ln x$, on a alors $x\ln x=\text{e}^{X} \times X$.\\On a  $\lim\limits_{x \rightarrow 0} X=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln x=-\infty$ et  par propriété,  $\lim\limits_{X \rightarrow -\infty} X \text{e}^{X} =0$, donc par limite d'une\linebreak composée, $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$. 
\end{itemize}
\end{preuve}

