\begin{propriete}[Limites aux bornes]
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln(x)=-\infty$
\end{propriete}


\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $A>0$,\\
$\ln x >A \, \iff  \,x > \text{e}^A$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty$.
\item Pour tout réel $x>0$, on pose $X=\dfrac{1}{x}$. On a
  $x=\dfrac{1}{X}$ donc $\ln x=\ln \dfrac{1}{X}=-\ln X$\\
  $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} X=+\infty$ et
  $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty}( -\ln X)=-\infty$ donc par
  limite d'une composée
  $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln(x)=-\infty$.
\end{itemize}
\end{preuve}
\begin{changemargin}{1cm}{0pt}
  \begin{multicols}{2}
    On peut alors dresser le tableau de variation de la fonction $\ln$ et représenter sa courbe.\\

\begin{tikzpicture}[yscale=0.7,general]
  \tkzTabInit[deltacl=0.3,lgt=1.5,espcl=3, lw=0.3mm, color, colorC=H4,
  colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4] {$x$ / 1, $\ln $ / 2} {$0$,
    $+\infty$} \tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}

\includegraphics[width=.8\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig4.eps}
\end{multicols}
\end{changemargin}

\vspace{-1cm}

\begin{remarque}
  Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $\ln$ en 1
  est :\\ $y=\ln^{\prime}(1)(x-1)+\ln1$ soit $y=x-1$.
\end{remarque}

