\section{Étude de la fonction logarithme népérien}

\begin{propriete}[Dérivée de la fonction $\ln$]
La fonction $\ln$ est dérivable sur $\left]  0 \, ; +\infty \right[ $ et pour tout réel $x>0$, $\ln^{\prime} (x) = \dfrac{1}{x}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}~\par
On admet que la fonction $ \ln $ est dérivable sur $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $. Pour tout réel $ x>0 $, on pose\linebreak $ f(x)= \text{e}^{ \ln x}$. La fonction $\ln$ étant dérivable sur  $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $, $f$  est aussi dérivable sur $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $. Pour tout réel $x>0$, calculons $f^{\prime}(x)$ de deux manières:\\
$f^{\prime}(x)=\ln ^{\prime} (x) \times  \text{e}^{\ln(x)}=x \ln^{\prime} (x) $ et on a aussi $f(x)=x$ donc $f^{\prime}(x)=1$. On en déduit que pour tout réel $x>0$, $x \ln^{\prime}(x)=1$ , par suite $\ln^{\prime} (x) = \dfrac{1}{x}$.
\end{preuve}

