\begin{proprietes}[Logarithme d'une puissance, d'une racine carrée]
Pour tout réel $a>0$ et pour tout entier relatif $n$,
\begin{enumerate}
\item $\ln(a^n)=n\ln a$
\item $\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \ln a$
\end{enumerate}
\end{proprietes}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item $\text{e}^{\ln(a^n)}=a^n$ et $\text{e}^{n \ln a}=\left( \text{e}^{ \ln a}\right) ^n=a^n$ ainsi $\text{e}^{\ln(a^n)}=\text{e}^{n \ln a}$ d'où $\ln(a^n)=n\ln a $.\\Voir exercice \RefExercice{A5_demo2} p. \pageref{A5_demo2} pour une démonstration par récurrence de cette propriété.
\item $\ln \left[ (\sqrt{a})^2\right] =\ln a$ et $\ln \left[ (\sqrt{a})^2\right] =2 \ln \sqrt{a}$ donc $\ln a =2 \ln (\sqrt{a})$ d'où le résultat. 
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{exemple}
 Écrire chacun des nombres suivants en fonction de $\ln2$.\\
 $A=3\ln 2 +\ln 4$ \\ 
 $B=\ln \left( \sqrt{8} \right)$\\
 $C=\ln 20 -\ln 5$

\correction
$A =3\ln 2 +\ln 4= 3\ln 2 +2\ln 2 = 5 \ln 2$.\\

$B = \ln \left( \sqrt{8}\right)    =\dfrac{1}{2} \ln 8=\dfrac{1}{2} \ln (2^3)=\dfrac{3}{2} \ln 2$.\\

$C=\ln 20 -\ln 5=\ln\left( \dfrac{20}{5}\right) =\ln 4 = 2\ln 2$.
\end{exemple}

