\begin{propriete}[Sens de variation]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $ \left] 0 \, ; +\infty \right[ $.
\end{propriete}

\begin{preuve}
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On a : $\text{e}^{\ln a}=a$ et $\text{e}^{\ln b}=b$.\\Donc $\text{e}^{\ln a}  <\text{e}^{\ln b}$. Comme la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on en déduit que :  $\ln a < \ln b$.


\end{preuve}
 \begin{consequence}
 \begin{multicols}{2}
 Pour tous les réels $a>0$ et $b>0$,
 \begin{itemize}
  \item $\ln a = \ln b \, \iff \, a=b$
  \item $\ln a < \ln b \, \iff \, a<b$
  \end{itemize}
    \includegraphics[width=.8\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig21.eps}
   \end{multicols}
  \end{consequence}

  \begin{preuve}
    En particulier, pour tout réel $ x>0$, on a :\\
    $ \ln x >0 \, \iff \, \ln x > \ln 1 \, \iff \, x>1$ et
    $ \ln x <0 \, \iff \, \ln x < \ln 1 \, \iff \, 0<x<1$
  \end{preuve}

\begin{consequence} 
 \begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
  \item $\ln x > 0 \, \iff \,  x>1$
\item $\ln x < 0 \, \iff \,  0<x<1$ 
  \end{itemize}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig20.eps}
   \end{multicols}
  \end{consequence}

