\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2012)][\roc\algo]
\begin{partie}[Restitution organisée des connaissances]
On rappelle que $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}
\dfrac{\text{e}^t}{t} = + \infty$.

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Démontrer que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\end{partie}

\begin{partie}
On considère la fonction $f$ définie sur $[1\,;+ \infty[$ par :
\[f(x) = x -\dfrac{\ln x}{x}.\] On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1\,;+ \infty[$ par : \[g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x).\]
Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1\,;+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1\,;+ \infty[$,\[f^{\prime}(x) =
    \dfrac{g(x)}{x^2}.\]
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à  la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln k}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à  $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à  $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}
