\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - 2011)] [\algo]
\begin{partie}[Étude du signe d'une fonction]
 On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = x^2 + 4\ln x.\]
 \begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel strictement positif $x$. 
\end{enumerate}
\end{partie}

\columnbreak

\begin{partie}[Une valeur approchée du réel $\alpha$]

\vspace{-\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item On admet que $\alpha \in \left[ 0,1;1\right] $. Compléter l'algorithme ci-dessous, afin qu'il affiche les bornes d'un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-3}$.

\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{a,b,m}{réels}{}
\BlocEntrees
\DonnerValeur{a}{...}
\DonnerValeur{b}{...}
\BlocTraitement
\TantQue{b-a>...}{
\DonnerValeur{m}{$\dfrac{\text{a}+\text{b}}{2}$}
\SiAlorsSinon{$f(\text{a})\times f(\text{m})>0$}{ \DonnerValeur{...}{...}}{ \DonnerValeur{...}{...}
}}
\BlocSortie
\Afficher{a,b}
\end{algorithme}
\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{FondTableaux}
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
\cellcolor{FondTableaux}$a$&0,1&&&&\\ \hline 
\cellcolor{FondTableaux}$b$&1&&&&\\ \hline 
\cellcolor{FondTableaux}$b - a$&&&&&\\ \hline 
\cellcolor{FondTableaux}$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Un problème de distance]
 On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction $\phi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[\phi(x) = 2\ln x.\] 
L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe $\mathscr{C}$, il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine $O$ que tous les autres.
 
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la courbe $\mathscr{C}$ et $x$ son abscisse. Exprimer $OM$ en fonction de $x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2.\]
Étudier les variations de la fonction $h$. On pourra utiliser la partie A. 
		\item En déduire qu'il existe un unique point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ tel que pour tout point $M$ de $\mathscr{C}$, distinct de $A$, on ait $OM > OA$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la droite $(OA)$ est perpendiculaire à $T_A$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


