\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2013)][\algo]
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\vspace{2mm}

\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{n,i}{entiers}{}
\DeclareVar{u}{réel positif}{}
\BlocEntrees
\Demander{n}
\DonnerValeurImmediate{u}{1}
\BlocTraitement
\Pour{i}{1}{n}{
\DonnerValeurImmediate{u}{$\sqrt{2u}$}
}
\BlocSortie
\Afficher{u}
\end{algorithme}

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du\\ résultat
  qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à
  l'aide de cet algorithme pour\\ certaines valeurs de $n$.

{\footnotesize		
\begin{tableau}[C]{\linewidth}{9}{m{1.75cm}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		& 20\\ \hline 
Valeur affichée	& 1,4142 & 1,9571 &1,9986 & 1,9999 & 1,9999\\ \hline
\end{tableau}\par}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 

\columnbreak

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,\\
		$ 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite  $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à  afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{n}{entier naturel}{}
\DeclareVar{u}{réel}{}
\BlocEntrees
\DonnerValeurImmediate{n}{0}
\DonnerValeurImmediate{u}{1}
\BlocTraitement\\
\dots\dots\dots\\
\dots\dots\dots\\
\BlocSortie\\
\dots\dots\dots
\end{algorithme}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}


