\begin{exercice}[D'après Bac (Polynésie - 2015)][\algo]
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_1 = \ln (2)$ et, pour tout entier naturel $ n $ non nul, \[v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.
On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.

\columnbreak

\begin{partie}[Conjectures à l'aide d'un algorithme]
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui\linebreak calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour
une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur :

\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{n,k}{entiers}{}
\DeclareVar{S,v}{réels}{}
\BlocTraitement
\Demander{n}
\DonnerValeurImmediate{v}{\ldots}
\DonnerValeurImmediate{S}{\ldots}
\Pour{k}{\ldots}{\ldots}{
\DonnerValeur{\ldots}{\ldots}
\DonnerValeur{\ldots}{\ldots}
}
\BlocSortie
\Afficher{S}
\end{algorithme}

\item À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques\linebreak valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

\begin{tableau}[C]{\linewidth}{9}{m{1cm}}\hline
$n$	&10	& $10^2$ 	& $10^3$ 	& $10^4$  & $10^5$  	& $10^6$ \\ \hline
$S_n$	& 2,4 & 4,6 & 6,9 & 9,2 & 11,5 & 13,8 \\ \hline
\end{tableau}

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la
suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}

 \end{partie}
\begin{partie}[Étude d'une suite auxiliaire]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
\item  Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}
 \end{partie}
\begin{partie}[Étude de $(Sn)$]

\vspace{-\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
\item  Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


