\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2015)]
\begin{partie}
Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = \ln(x) + x - 3.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3. 
\item En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$. 
\end{enumerate}
\end{partie}
\begin{partie}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) \left( \ln(x) - 2\right)  + 2.\]
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
        \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle
          $]0~;~+ \infty[$, $f(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$
          est la  fonction\\
          définie dans la partie A.
        \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur
          l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{partie}
\begin{partie}
Soit $\mathscr{C}^{\prime}$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. 

\vspace{2mm}

\item En déduire que les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}^{\prime}$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. 
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


