\begin{exercice}[Limite d'une distance][\tice]
Dans un repère orthogonal, on considère la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $\ln$ et la courbe $\mathscr{C}^{\prime}$ représentative de la fonction racine carrée.\\
Soit $x$ un réel strictement positif. On note respectivement $M$ et
$N$ les points de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ d'abscisses $x$.
\begin{center}
\includegraphics[width=.9\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig11.eps} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Construire cette figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
\item Quelle semble être la limite de la distance $MN$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$?
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x>0$, montrer que :  \[\sqrt{x}-\ln x=\sqrt{x} \left( 1-2 \dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right) .\]
\item Démontrer la conjecture établie au 2.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


