\begin{exercice}[~][\tice]
\begin{partie} [Utilisation d'un logiciel]
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, créer un curseur $k$ allant de 1 à 5 avec une incrément de 0,1. Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x>1$ par :
 \[ f(x) = x - k \ln x .\]
 \begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig10.eps}
% \includestandalone{\pathmanuel/figures/fig10}
\end{center}
\item Conjecturer selon les valeurs de $k$ le nombre de points d'intersection entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie} [Démonstrations]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x>1$ par $g(x) = \dfrac{x}{\ln x}$. On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $g$ en 1 et en $+\infty$.
\item Pour tout réel $x > 1$, calculer $g^{\prime}(x)$. 
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
\item Soit $k$ un réel. Donner, suivant les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation  $g(x) = k$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $f$ définie à la\\ partie A en 1 et en $+\infty$.
\item Pour tout réel $x > 1$, calculer  $f^{\prime}(x)$.
\item Dresser le tableau des variations de $f$.
\item On considère un point $P$ de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $x>1$. Montrer que $P$ appartient à  l'axe des abscisses si et seulement si $g(x) = k$.
\item Démontrer la conjecture faite à la question A.2.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


