\begin{exercice}[Comportement d'une suite]
\begin{partie}[Étude d'une fonction]
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]  0  \, ; +\infty \right[ $ par : 
\[f(x)=x-\ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire que, pour tout $x>1$, $f(x)>1$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Étude d'une suite récurrente]
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


