\begin{exercice}[Comportement d'une suite]
\begin{partie}[Étude d'une fonction]
On considère la fonction $g$ définie sur $\left[ 0\ ;\ +\infty \right[ $ par : 
\[g(x)=\ln (3x+1)-x.\]
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[ 1\ ;\ 2 \right] $.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Étude d'une suite récurrente]
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\ln(3u_n+1)$.
\begin{enumerate}
\item On a représenté les premiers termes de la suite $(u_n)$.

\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig24.eps}
\end{center}

\item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$. 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \\$1\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


