\begin{exercice}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{2}$ .
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$,  on pose : $v_n=u_n-\dfrac{2}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la\\ raison.
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de~$n$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$. 
\end{enumerate} 
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$,  on pose : $w_n=\ln(v_n)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(w_n)$ est bien définie.
\item Montrer que la suite $(w_n)$ est une suite arithmétique   dont on précisera le premier terme et la\\ raison.
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $w_n$ en fonction de~$n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


