\begin{exercice}[\hfill\calc]
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[ 0  \, ; 5 \right]   $ par: 
\[f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 -\ln \left( x^2+1\right).\]
 La courbe de $f$ a été tracée à l'aide d'une calculatrice.

\vspace{2mm}

\includegraphics[scale=0.2]{\pathmanuel/figures/fig3a.eps}
\includegraphics[scale=0.2]{\pathmanuel/figures/fig3b.eps}  
\begin{enumerate}
\item Conjecturer :
\begin{enumerate}
\item le sens de variation de $f$;
\item le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate} 

\item  Pour tout réel $x \in \left[ 0  \, ; 5 \right] $, calculer $f^{\prime}(x)$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\begin{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions sur $\left[ 0  \, ; 5 \right]   $.
\item  Donner un encadrement de la solution non entière $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de~$x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


