\begin{exercice}
Étudier le signe des expressions suivantes selon les valeurs de $x$.
\begin{enumerate}
\item $A(x)= \text{e}^{-x}\left( 1-\text{e}^x\right) $
\item $B(x)=\left( \text{e}^x-1\right) (2-x)$
\item $C(x)= \text{e}^x-\text{e}^{-x}$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item  \begin{tabular}[t]{|c|c c c c c|}
  \hline
  $x$ & $-\infty$ & & $0$ && $+\infty$  \\
  \hline
  $\text{e}^{-x}$ & & $+$ & & $+$ &  \\
  \hline
   $1-\text{e}^x$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
  \hline 
  $A(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ &\\
  \hline
\end{tabular}
  \item  \begin{tabular}[t]{|c|c c c c c c c|}
  \hline
  $x$ & $-\infty$ & & $0$ &&$2$ && $+\infty$  \\
  \hline
  $\text{e}^x-1$ & & $-$ & 0 & $+$ && $+$&  \\
  \hline
   $2-x$ & & $+$ & & $+$ & 0& $-$& \\
  \hline 
  $B(x)$ & & $-$ &0 & $+$ & 0& $-$&\\
  \hline
\end{tabular}
  \item $\text{ e }^{x}-\text{ e }^{-x}>0 \iff{} \text{ e }^{x}>\text{
      e }^{-x} \iff{} x>-x \iff{}  x>0$\\
    \hspace*{4mm}
      \begin{tabular}{|c|c c c c c|}
        \hline
        $x$ & $-\infty$ & & $0$ && $+\infty$  \\
        \hline 
        $C(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &\\
        \hline 
      \end{tabular}
  \end{enumerate}   
\end{corrige}

