\begin{exercice}[\hfill\tice]
Pour tout réel $a>0$, on définit les fonctions $f_a$ et $g_a$ sur $ \left] 0 \, ;+\infty\right[  $ par : \\
$f_a(x)=ax^2$ et $g_a(x)=\ln (ax)$.
Soit $\mathscr{C}_a$ et $\Gamma_a$ leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthogonal du plan. Le but de ce problème est d'étudier le nombre de points d'intersection entre ces deux courbes.

\partie[Utilisation d'un logiciel de géométrie \mbox{dynamique}]

\vspace{-\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item Créer un curseur $a$ variant entre $0{,}1$ et 10 avec une incrémentation de 0,1. 
\item Tracer les courbes $\mathscr{C}_a$  et $\Gamma_a$.

\item Discuter suivant les valeurs de $a$ le nombre de points d'intersection entre les deux courbes. 
\end{enumerate}
\begin{center}
\includegraphics[width=.8\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig12.eps}
\end{center}

\partie[Démonstrations]
On considère la fonction $d_a$ définie sur $ \left]0\, ;+\infty\right[  $ par : $d_a(x)=ax^2-\ln(ax)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} d_a(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} d_a(x)=+\infty$.
\item Pour tout réel $x>0$, montrer que $d_a^{\prime}(x)=\dfrac{2ax^2-1}{x}$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $d_a$. Vérifier que la valeur du minimum de la fonction $d_a$ est $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\left( \dfrac{a}{2}\right)  $.
\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\left( \dfrac{a}{2}\right)  $ suivant les valeurs de $a$. 
\item En déduire le nombre de points d'intersection entre les courbes $\mathscr{C}_a$ et $\Gamma_a$ selon les valeurs de $a$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}

