\begin{exercice}[Valeur approchée de $\ln 2$][\calc\algo]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :\\
$u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+... +\dfrac{1}{2n}$.


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de calculer le terme de rang $n$.
\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{n,k}{entiers}{}
\DeclareVar{u}{réels}{}
\BlocTraitement
\Demander{n}
\DonnerValeur{u}{0}
\Pour{k}{1}{\ldots}{
\DonnerValeur{u}{\dots}
}
\BlocSortie
\Afficher{...}
\end{algorithme}

%\vspace{\baselineskip}

\item Programmer cet algorithme sur une calculatrice ou un logiciel et calculer $u_5$, $u_{10}$ et $u_{20}$.
\item Quelles conjectures peut-on formuler sur la suite $(u_n)$?
\end{enumerate}
\item Démonter que pour tout entier $n>0$,\\
$u_{n+1}-u_n>0$.
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée. En déduire qu'elle converge. On note $\ell$ sa limite.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x > 0$,\\
$1-\dfrac{1}{x}\leqslant \ln x \leqslant x-1$.
\item En déduire que, pour tout entier  $k>0$,\\ $\dfrac{1}{k+1}\leqslant \ln\left(\dfrac{k+1}{k}\right) \leqslant \dfrac{1}{k}$.
\item Écrire l'encadrement de la question précédente pour $k$ entier allant de $n$ à $2n-1$. Puis, en ajoutant membre à membre, démontrer que pour tout entier $n>0$, \[u_n \leqslant \ln 2 \leqslant u_n+\dfrac{1}{2n}.\]
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\ln 2$.
\item Comment peut-on choisir $n$, pour que  $u_n$ soit une valeur
  approchée de $\ln 2$ à $10^{-3}$ près. 

En utilisant, le programme de la question 1.b), trouver une valeur approchée de $\ln 2$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



