\begin{exercice}[~][\calc]
\begin{partie}
Soit $f$ la fonction définie sur  $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x)=(\ln 2)x-2\ln(x).\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est croissante sur $\left[ \dfrac{2}{\ln2}~;~+ \infty\right[ $  .
\item En déduire que pour tout réel $x \geqslant 4$, $f(x)\geqslant 0$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{n^2}{2^n}$. 
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ à l'aide d'une calculatrice.
\item Pour tout entier $n \geqslant 4$, montrer que
  $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$. En déduire le sens de variation de la
  suite $(u_n)$.
\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 4$, $u_n \leqslant 1$. \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item En utilisant la partie A, calculer $\ell$. Indication : on
  pourra remarquer que pour tout $n>0$, $u_n=\text{e}^{-f(n)}$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


