\begin{exercice}[~][\tice]
  Pour tout entier $n \geqslant 2$, on considère la fonction définie
  sur $\left]0\ ;\ +\infty \right[ $ par :
  \[f_n(x)=\dfrac{1-x+n \ln x}{x}.\]
  On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans
  un\linebreak repère orthogonal.
\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig9.eps} 
\end{center}

\vspace{\baselineskip}

\begin{partie}[Conjecture à l'aide d'un logiciel]
\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, créer un curseur $n$ , entier compris entre 2 et 20. Construire $\mathscr{C}_n$.
\item Conjecturer les limites de la fonction $f_n$ en 0 et en $+\infty$.
\item Conjecturer le nombre d'antécédent(s) de 0 par la fonction $f_n$. Comment varient ces éventuels antécédents lorsque $n$ devient grand?
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Étude de la famille des fonctions $f_n$]
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f_n$ en 0 et en $+\infty$.
\item Calculer $f_n^{\prime}(x)$ et étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f_n$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Étude de l'équation $f_n(x)=0$]
\begin{enumerate}
%conditions sur n?
\item Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution dans $ \left] 0 \, ; \text{e}^{\frac{n-1}{n}} \right]  $. Donner la valeur exacte de cette solution.
\item  Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution dans $\left] \text{e}^{\frac{n-1}{n}} ; +\infty \right[  $. On note $\alpha_n$ cette solution.
\item Calculer $f_n(n)$ et montrer que pour tout $n> \text{e}$, $f_n(n)>0$.
\item En déduire que, pour  tout $n \geqslant 3$, $\alpha_n >n$. 
\item En déduire la limite de la suite $(\alpha_n)$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


