\begin{exercice}[Équation fonctionnelle $f(xy)=f(x)+f(y)$]
Le but de cet exercice est de trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur  $\left] 0  \, ; +\infty\right[  $ vérifiant,  pour tous $x>0$ et $y>0$ :
\[f(xy)=f(x)+f(y)  \quad(2).\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que les fonctions $a \ln $ où $a \in \mathbb{R}$ sont
  des\linebreak solutions de l'équation (2).
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur
  $\left] 0 \, ; +\infty\right[ $ qui vérifie
  l'équation~(2). L'objectif est de démontrer que pour tout réel $x$,
  $f(x)=a \ln x$ où $a$ est un réel.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(1)=0$.
\item Soit un réel $b>0$. Pour tout réel $x>0$, on pose $g(x)=f(bx)-f(x)$. Montrer que la fonction $g$ est constante.
\item En déduire que $f^{\prime}(1)=b \times f^{\prime}(b)$.
\item On pose $a=f^{\prime}(1)$. Soit $h$ la fonction définie sur
  $\left] 0  \, ; +\infty\right[ $ par  $h(x)=f(x)-a \ln x$. 

Montrer que la fonction $h$ est la fonction nulle. 
\item En déduire $f(x)$.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}


