\begin{exercice} [~][\tice]
  Soit la fonction $f$ définie sur $\left] 0 \, ; +\infty\right[ $ par
  $f(x)=\ln x$. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$
  dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. Soit $M$ un point quelconque
  sur~$\mathscr{C}$.
\begin{center}
\includegraphics[width=.6\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig23.eps}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un logiciel, conjecturer la position du point $M$ sur $\mathscr{C}$ qui permet d'obtenir une valeur\linebreak minimale pour la distance $JM$.
\item Soit $x$ l'abscisse de $M$ avec $x>0$. Exprimer $JM$ en fonction de $x$.
\item On pose $g(x)=x^2-1+\ln x$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution
  $\alpha$ sur $\left]  0 \, ; +\infty\right[ $.

 Donner la valeur exacte de $\alpha$.
\item En déduire le signe de $g(x)$. 
\end{enumerate} 
\item On pose $f(x)=x^2+(1-\ln x)^2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x>0$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{2g(x)}{x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\left]  0 \, ; +\infty\right[ $.
\item En déduire la position de $M$ qui rend la distance $JM$ minimale, et calculer cette distance. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

