\begin{exercice}[Équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)\times f(y)$]
Le but de cet exercice est de trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tous les réels $x$ et $y$ :
\[f(x+y)=f(x) \times f(y) \quad (1).\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que les seules fonctions constantes vérifiant (1) sont
  la fonction nulle et la fonction constamment égale à 1.
\item Montrer que les fonctions $f:x\mapsto\text{e}^{ax}$ où $a \in \mathbb{R}$ sont des solutions de l'équation (1).
\item Soit $f$une fonction  dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie (1). On suppose que $f$ n'est pas la fonction nulle. L'objectif est de démontrer que  pour tout réel $x$, $f(x)=\text{e}^{ax}$ où $a$ est un réel.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(0)=1$.
\item Montrer que $f$ ne s'annule pas. (On pourra raisonner par l'absurde).
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)>0$.
\item Pour tout réel $x$, on pose $g(x)=\ln \left[ f(x) \right] $. Montrer que pour tout réel $x$, $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)$.
\item On pose $a=f^{\prime}(0)$. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=g(x)-ax$. Montrer que la fonction $h$ est la fonction nulle. 
\item En déduire $g(x)$, puis $f(x)$.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}


