\begin{activite}[D'une fonction à une autre] [\tice]
Le plan est muni d'un repère orthonomé.
\begin{partie}[Construction de la courbe de la fonction logarithme népérien] 
\begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction exponentielle. Placer un point $M$ sur $\mathscr{C}$.
\item
\begin{enumerate}
\item  On note $a$, l'abscisse de $M$ (avec $a>0$). Justifier que l'équation $\text{e}^x=a$ admet une unique solution $b$ dans $\left] 0\, ;+\infty\right[$.\\
Le nombre $b$ ainsi associé à $a$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$, on le note $\ln(a)$.
\item Donner les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(\text{e})$.
\end{enumerate}
\item Construire le symétrique $M^{\prime}$ de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=x$. Activer la trace de $M^{\prime}$. Déplacer $M$.
\item Afficher enfin la courbe $\mathscr{C}^{\prime}$ représentative de la fonction $\ln$, en saisissant l'équation $y=\ln(x)$. \\
L'ensemble des points $M^{\prime}$ constituent la courbe représentative de la\linebreak \textbf{fonction logarithme népérien}, dite fonction réciproque de la fonction\linebreak exponentielle. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
%\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{\pathmanuel/figures/fig22.eps}
\begin{tikzpicture}[overlay,xshift=1cm,yshift=2.5cm]
  \node at (0,0) {$\mathscr{C}$};
\end{tikzpicture}

\end{minipage}
\end{partie}
\begin{partie}[Conjectures] 
\vspace{-0.6cm}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer les limites, le sens de variation et le signe de la fonction $\ln$. 
\item
  \begin{enumerate}
  \item Afficher la tangente au point $M^{\prime}$ à la courbe
    $\mathscr{C}^{\prime}$. Lire son coefficient
    directeur. Recommencer après avoir déplacé $M'$.
  \item Quel lien semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur
    et l'abscisse de $M^{\prime}$?
  \item Quelle conjecture peut-on émettre sur la dérivée de la
    fonction $\ln$?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{activite}

