\begin{theoreme}
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
 On prouve ici seulement l'unicité (pour la preuve de l'existence :  \MethodeRefExercice{TA4_demo_existence_exp}).\\
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.\\
Supposons alors qu'il existe une autre fonction $g$ telle que $g'=g$ et $g(0)=1$.\\
Comme $g$ ne s'annule pas d'après le lemme précédent, on peut poser  $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.\\
$k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.\\
Pour tout réel $x$, on a : $k'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}= \dfrac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{g^2(x)}=0$.\\
Donc la fonction $k$ est constante et égale à $k(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{1}{1}=1$.\\
Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}=1 \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ donc $f=g$ d'où l'unicité.
\end{preuve}

