\begin{enigme}[Encore lui, encore $\boldsymbol{\e}$]
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En Terminale S, on découvre la fonction exponentielle ($x\mapsto \e^{x}$) avant la fonction logarithme népérien ($x\mapsto\ln x$) mais, historiquement, ce fut l'inverse.
D'ailleurs, c'est en voulant inverser  $\ln(b)=1$, \mbox{qu'Euler} donne naissance à $\e$  en 1728 qu'il définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de l'éditeur \mbox{hollandais} Adriaan Vlacq pour l'évaluer à $2,718\,281\,7$.\\
$\e$ apparaît officiellement pour la première fois en 1736 et entre \mbox{définitivement} dans le corpus mathématique en 1748, dans l'œuvre maîtresse d'Euler : \emph{Introductio in analysin infinitorum}.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}\small
\textcolor{violet}{$\boldsymbol{\e = 2+\cfrac 1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{4+\cfrac 1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{6+\cfrac1{\cdots}}}}}}}}}}$}
\end{center}
\end{minipage}\vspace{3mm}
\begin{enumerate}
\item En 1737, Euler développa $\e$ en fractions continues (voir ci-dessus à droite).\par
Cette présentation n'étant pas commode, on liste seulement le premier terme de chaque étage :
\begin{center}$\e = [2,\overbrace{1,2,1},\overbrace{1,4,1},\cdots , \overbrace{1,2k,1},\cdots \,] = [2,\overline{1, 2k,1}]\quad k\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$.\end{center}
Ceci a l'avantage de montrer la régularité du développement.
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'on obtient une valeur approchée  de $\e$ d'autant plus précise qu'on « descend » les étages.
\item Écrire un algorithme  qui calcule $\e$ avec ce développement à $10^{-7}$ près.\par
En combien d'étapes (tours de boucle) y parvient-il ?
\end{enumerate}
\item Le nombre d'Euler peut être aussi définie par la série :
\begin{center}
$\displaystyle\e =\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{k!}= 1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{1\times 2\times 3} + \frac{1}{1\times 2\times 3 \times 4} + \cdots$
\end{center}
où $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{k!}=\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\right)$.\par
Écrire un algorithme  qui calcule $\e$ à $10^{-7}$ près avec cette série.\par
Fait-il mieux que l'algorithme précédent ?
\end{enumerate}
\end{enigme} 

