\section{Fonction composée $\boldsymbol{\e^u}$}

\begin{proprieta}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\
La fonction $\e^{u}$, composée de $u$ suivie  de $x\mapsto \e^x$, est dérivable sur $I$ et on a  $(\e^u)'=u'\e^u$.
\end{proprieta}

\begin{exemple*1}
Soit la fonction $f:x\mapsto \e^{\sqrt{x}}$ définie sur $\mathbb{R}^+$.\\[2mm]
La fonction racine carrée est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$, composée de racine carrée suivie d'exponentielle, est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on a $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times \e^{\sqrt{x}}=\dfrac{\e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
\end{exemple*1}

\begin{remarque}
$\e^u$ varie comme $u$. Par exemple, si $u$ est strictement décroissante sur $I$, alors pour tous $a$ et $b$ dans $I$ : $a<b \Rightarrow u(a)>u(b)$. Or,  exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ donc $u(a)>u(b)\Rightarrow \e^{u(a)}>\e^{u(b)}$. Ainsi, $\e^u$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{remarque}

\begin{exemple*1}
$x\mapsto -x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ donc $x\mapsto \e^{-x}$ aussi.
\end{exemple*1}

