\subsection{D'autres limites}



\begin{propriete}
\begin{colitemize}{3}
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\,\,\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x\e^x=0$
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\e^x-1}{x}=1$
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{enumerate}
  \item Soit la fonction $f:x\mapsto \e^x-\dfrac{x^2}{2}$ sur $[0~;~+\infty[$. On a $f'(x)=\e^x-x$ et $f''(x)=\e^x-1$.\par
 Or, $x\geqslant0 \Leftrightarrow \e^x\geqslant \e^0 \Leftrightarrow \e^x\geqslant1\Leftrightarrow \e^x-1\geqslant0$ donc $f''(x)\geqslant0$.\par
Ainsi, $f'$ est croissante et minorée par $f'(0)=1$. Donc, $f'(x)\geqslant0$.\par
Ainsi, $f$ est croissante et minorée par $f(0)=1$.  Donc, $f(x)\geqslant0$ soit $\e^x-\dfrac{x^2}{2}\geqslant0$.\par
D'où, pour $x>0$, $\dfrac{\e^x}{x}\geqslant\dfrac{x}{2}$.  Or, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty$ donc, par comparaison, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$.
  \item Par inverse de la limite précédente, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$.\par
Donc, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x\e^x=\lim_{x\rightarrow+\infty}-x\e^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-\dfrac{x}{\e^x}=0$ d'après ce qui précède.
\item  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\e^x-1}{x}$ est égale au nombre dérivée de $x\mapsto \e^x$ en 0 soit $\e^0=1$.
\end{enumerate}
\end{preuve}
\begin{remarque}
On généralise pour tout $n\in\mathbb{N}$ : \hspace{.5cm}
\textcolor{H1}{\rule[\ItemRuleDepth]{\ItemRuleWidth}{\ItemRuleHeight}}
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\,\,\dfrac{\e^x}{x^n}=+\infty$ \hspace{.5cm}
\textcolor{H1}{\rule[\ItemRuleDepth]{\ItemRuleWidth}{\ItemRuleHeight}} $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n\e^x=0$
\end{remarque}

