\subsection{Limites en $\boldsymbol{\pm \infty}$}

\begin{propriete}
\begin{colitemize}{2}
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp(x)=+ \infty$
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\exp(x)=0$
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item La fonction $f:x\mapsto \exp(x)-x-1$ est dérivable  sur $[0~;~+\infty[$ et  $f'(x)=\exp(x)-1$.\par
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ donc : $x\geqslant0\Rightarrow \exp(x)\geqslant 1$.\par
Ainsi, $f'(x)\geqslant 0$ donc $f$ est croissante et minorée par $f(0)=\exp(0)-0-1=0$.\par
D'où, $f(x)\geqslant0 \Leftrightarrow \exp(x)-x-1\geqslant 0 \Leftrightarrow \exp(x)\geqslant 1+x$.\par
Or, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(1+x)=+\infty$ donc, d'après le théorème de comparaison,
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp(x)=+ \infty$.
\item En posant $X=-x$, on a $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\exp(x)=\lim_{X\rightarrow+\infty}\exp(-X)=\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\exp(X)}=0$.
\end{itemize}
\end{preuve}

