\section{Étude de la fonction exponentielle}

\subsection{Signe et variations}

\begin{propriete}
Sur $\mathbb{R}$, la fonction exponentielle est :
\begin{colitemize}{3}
\item continue \label{prop0}
\item strictement positive \label{prop1}
\item strictement croissante \label{prop2}
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc elle est continue sur $\mathbb{R}$.
\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\exp\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)\times\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)$ d'après la relation fonctionnelle.\par \vspace{1mm}
 Ainsi, $\exp(x)=\left(\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2$ et comme $\exp(x)\neq 0$, alors $\exp(x)>0$.\vspace{1mm}
\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(\exp(x))'\! =\! \exp(x)\! >\! 0$. Donc, $x\mapsto \exp(x)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{itemize}
\end{preuve}

