\begin{propriete}
Pour tous réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$ :
\begin{colitemize}{3}
\item $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$
\item $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\item $\exp(nx)=(\exp(x))^n$
\end{colitemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item $1=\exp(0)=\exp(x+(-x))=\exp(x)\exp(-x)$ donc $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$.
\item $\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\exp(-y)=\exp(x)\times\dfrac{1}{\exp(y)}=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
\item Pour $p\in\mathbb{N}$, on démontre par récurrence. Voici l'initialisation et l'hérédité :\par
$\exp(0x)=\exp(0)=1$ et $\left((\exp(x)\right)^0=1$ puisque $\exp(x)\neq0$. \par
Supposons que pour un certain entier $p$ donné, on ait $\exp(px)=(\exp(x))^p$. Alors :\par
$\exp((p+1)x)=\exp(px+x)=\exp(px)\exp(x)=\left(\exp(x)\right)^p\exp(x)=\left(\exp(x)\right)^{p+1}$.\par
Et si $-p\in\mathbb{N}$, alors $\left(\exp(x)\right)^p=\left(\exp(-x)\right)^{-p}=\exp(-p(-x))=\exp(px)$.
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{exemple*1}\label{ex_calcul}
$\left(\exp(1)-\exp(-1)\right)^2=(\exp(1))^2-2\exp(1)\exp(-1)+(\exp(-1))^2$\\
$=\!\exp(1\!\times\!2)\!-\!2\exp(1\!-\!1)\!+\!\exp(-1\!\times\!2)\!=\!\exp(2)\!-\!2\exp(0)\!+\!\exp(-2)\!=\!\exp(2)\!-\!2\!+\!\exp(-2)$.
\end{exemple*1}

