\begin{exercice}[D'après Bac (Pondichéry - 2014)]
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Dans un repère orthogonal, on note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathscr{C}'$ celle de sa dérivée $f'$.\\
Le point $A(0~;~2)$ appartient à $\mathscr{C}$ ; le point $B(0~;~1)$  à $\mathscr{C}'$.
\begin{enumerate}
\item Dans le repère ci-dessous, on a tracé $\mathscr{C}$ et trois courbes $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ dont l'une est $\mathscr{C}'$.
 Laquelle ?\vspace{3mm}
\begin{center}
\psset{xunit=.95cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1.2)(4.5,9.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[xunit=.95cm,yunit=.4cm,subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,gridlabels=0pt](-4,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-3.5,-1.2)(4.5,9.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.8pt,linecolor=B2]{-3}{0.15}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.8pt,linecolor=B2]{0.35}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-2.5,8){\textcolor{B2}{$\mathscr{C}$}}
\pscurve[linewidth=.8pt,linecolor=J1](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98)
\uput[d](4,2){\textcolor{J1}{$\mathscr{C}_{1}$}}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=.8pt,linecolor=H1!60!black]{-3.5}{4.5}{x 1 add}
\uput[d](4,5){\textcolor{H1!60!black}{$\mathscr{C}_{2}$}}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=.8pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul   2.71828 x neg exp add}
\uput[d](4,8){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}_{3}$}}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](0,2){.07}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](0,1){.07}
\uput{4pt}[45](0,2){\small{$A$}}
\uput{4pt}[-45](0,1){\small{$B$}}
\end{pspicture*}
\end{center}\vspace{3mm}
\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$.
\item On sait que pour tout réel $x, f(x) = \e^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{colenumerate}{2}
		\item Déterminer $b$.
		\item Prouver que $a = 2$.
	\end{colenumerate}	
\item Calculer $f'(x)$. Montrer que l'équation $f'(x)=0$ n'a qu'une solution (on la note $\alpha$).
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

