\begin{exercice}[D'après Bac (Nouvelle calédonie - 2013)]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :\vspace{-2mm}
\begin{center}$f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}$.\end{center}\vspace{-6mm}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\begin{center}$g(x) = x^2\e^x - 1$.\end{center}
Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $a\geqslant0$ tel que $g(a) = 0$.\par		
Démontrer que $a\in[0,703~;~0,704[$.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item Justifier que $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$.\par		
Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}_{\small{\text{\textbf{+}}}}^*$, $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation sur  $]0~;~ +\infty[$.\vspace{1mm}
		\item Démontrer que $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$ est le minimum de $f$.\vspace{1mm}
		\item Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

