\begin{exercice}[D'après Bac (Asie - 2014)][\calc]
On modélise une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur, par la courbe \mbox{représentative} d'une fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$ par :
\begin{center}$g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\e^{ax} +  \e^{- ax}\right)$.\end{center}
où $a$ est  un paramètre réel strictement positif.\\
Pour que cette chaîne ait une tension minimale aux\linebreak extrémités,  il faut  que le réel $a$ soit une solution\linebreak strictement positive de l'équation :
\begin{center}$(x - 1)\e^{2x} - 1 - x = 0$.\end{center}
Dans la suite, on définit sur $[0~;~+ \infty[$
la fonction $f$ par $f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x$ pour tout réel $x \geqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.\par
Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$.
\item  On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$.\par
Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0, f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$.
\item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$.
		\item  Calculer $f(2)$.\par
En déduire que sur $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une valeur unique notée $a$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centième. 		
	\end{enumerate}
%\item On admet sans démonstration que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression :
%\begin{center}$L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} +  \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x$.\end{center}
%Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme \mbox{valeur}  approchée du nombre $a$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

