\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Sud - 2014)][\algo]
On veut réaliser le portail schématisé ci-dessous. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,2)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Gris3](-2.5,-2)(-2,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Gris3](2,-2)(2.5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Gris1]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{x neg  0.25 add 2.71828 4 x neg  mul exp div 1.25 add}
\psline(0,-1.8)(-2,-1.8)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Gris1]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add}
\psline(2,-1.8)(0,-1.8)
}
\psplot[plotpoints=4000,,linecolor=B2,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add}
\uput[d](-1.,0.45){vantail}
\uput[d](-1.,0.05){de gauche}
\uput[d](1,0.45){vantail}
\uput[d](1,0.05){de droite}
\end{pspicture}
\end{center}

\partie[Modélisation du bord supérieur]

On modélise le bord supérieur du vantail de droite (en rouge)  avec  une fonction $f$ définie sur  [0~;~2] par :
\begin{center}$f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\e^{- 4x} + b$ \quad où $b$ est un réel.\end{center}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x\in[0~;~2]$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur [0~;~2].
	\end{enumerate}
\item On souhaite que  la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5~m.\par
Démontrer que $b$ doit être alors égal à $\dfrac{5}{4}$.
\end{enumerate}

\partie[Utilisation d'un algorithme]
On désire réaliser un portail de même forme mais avec des planches rectangulaires de largeur 0,12~m, espacées de 0,05~m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord haut du vantail (voir ci-dessous) et le bas de chaque planche à 0,05~m de hauteur.\\
On numérote les planches depuis $0$  à gauche.
\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(2.7,1.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.15,-0.1)(2.7,1.7)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0,1.5)(0.12,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0.17,1.4628)(0.29,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0.34,1.4014)(0.46,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0.51,1.3488)(0.63,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0.68,1.3113)(0.8,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](0.85,1.2867)(0.97,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.02,1.2715)(1.14,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.19,1.2623)(1.31,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.36,1.257)(1.48,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.53,1.2539)(1.65,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.7,1.2522)(1.82,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=brown](1.87,1.2512)(1.99,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Gris3](2,1.58)(2.4,0)
\end{pspicture}

\medskip

\emph{La distance entre le bas du portail et le sol est 0,05~m.}
\end{center}

\pagebreak

\begin{enumerate}
\item Donner l'aire de la planche numéro $k$.
\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.
\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
\textit{Variables}
X et S sont des réels
\textit{Initialisation}
Affecter à S et X la valeur $0$
\textit{Traitement}
\textbf{Tant Que} X + 0,17 < ...
    S prend la valeur S + ...
    X prend la valeur X + 0,17
\textbf{Fin de Tant Que}
Afficher S
\end{oldalgorithme}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}

