\begin{exercice}[D'après Bac (Centres Étrangers - 2007)]
Le but de cet exercice est de montrer  que l'équation :\\
\begin{center}(E)\quad $\e^x = \dfrac{1}{x}$\end{center}
admet une unique solution dans  $\mathbb{R}$ et de construire une suite qui converge vers elle.\\

\partie[Existence et unicité de la solution]


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}$f(x)=x - \e^{-x}$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Démonter que $x$ est solution de  l'équation (E) si, et seulement si, $f(x)=0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
		\item  En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur $\mathbb{R}$. On la note $\alpha$.\vspace{1mm}
		\item  Démontrer que $\dfrac{1}{2}\leqslant \alpha \leqslant 1$.
		\item  Étudier le signe de $f$  sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[Deuxième approche]


On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par :
\begin{center}$g(x) = \dfrac{1 + x}{1 + \e^x}$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Démontrer l'équivalence :
\begin{center}$f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = x$.\end{center}
\item  En déduire que $\alpha$ est l'unique solution de $g(x)=x$.
\item  Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
\end{enumerate}

\partie[Approximation de $\boldsymbol{\alpha}$]

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
\begin{center}$\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} u_{0} & \,\,=\,\, & 0 \\ u_{n+1} & = &   g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\begin{center}$0 \leqslant  u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant  \alpha$.\end{center}
\item  En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\item  On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.\par
Justifier que $g(\ell) = \ell$. En déduire la valeur  de $\ell$.
\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur \mbox{approchée} de $\alpha$ arrondie à la  sixième décimale.
\end{enumerate}
\end{exercice}

