\begin{exercice}[D'après Bac (Centres Étrangers - 2010)]
  Soit deux courbes $\mathscr{C}_{1}$ et $\mathscr{C}_{2}$ d'équations
  respectives\linebreak $y = \e^x$ et $y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal.
\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psgrid[xunit=.8cm,yunit=.4cm,subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,gridlabels=0pt](-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psplot[linecolor=A1,linewidth=.8pt,plotpoints=10000]{-5}{2}{2.71828 x exp}
\psplot[linecolor=B2,linewidth=.8pt,plotpoints=10000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente $\left(\mathcal{T}\right)$ commune à ces deux courbes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement l'abscisse du point de contact de cette
  tangente avec $\mathscr{C}_{1}$, puis avec $\mathscr{C}_{2}$.
\item Soit $a$ et $b$ deux réels, $A$ le point d'abscisse $a$ de
  $\mathscr{C}_{1}$ et $B$ le point d'abscisse $b$ de
  $\mathscr{C}_{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de :
\begin{itemize}
\item la tangente $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ à $\mathscr{C}_{1}$
  au point $A$.
\item la tangente $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ à $\mathscr{C}_{2}$
  au point $B$.
\end{itemize}
\item En déduire que $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ et
  $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ sont confondues si, et seulement si,
  $a$ et $b$ sont solutions du système :
\begin{center}(S)\quad $\left\{\begin{array}{l c l}
\e^a& =& - 2b \\
\e^a - a\e^a &=& b^2 - 1
\end{array}\right.$.\end{center}
		\item  Montrer que le système (S) équivaut au système :	
\begin{center}(S')\quad $\left\{\begin{array}{l c l}
\e^a& =& - 2b \\
\e^{2a} + 4(a\e^a - \e^a - 1) & =& 0
\end{array}\right.$.\end{center}
	\end{enumerate}
      \item Le but de cette question est de prouver qu'il existe un
        unique réel solution de l'équation :
        \begin{center}
          (E)\quad
          $\e^{2x} + 4(x\e^x - \e^x - 1) =
          0$.
        \end{center}\vspace{-2mm}
        \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]- \infty~;~0[$
          :
          \begin{center} 
            $\e^{2x} - 4 < 0$ ~et~ $4\e^x(x - 1) < 0$.
          \end{center}
        \item En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans
          l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
        \item Montrer que $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
          :
          \[f(x)=\e^{2x} + 4\left(x\e^{x} - \e^{x} - 1\right)\]
          est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
        \item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique
          $a$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.\par
          Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de
          $a$.\vspace{-2mm}
	\end{enumerate}
      \item On prend pour $A$ le point d'abscisse $a$.\par
        Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$
        pour lequel $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ et
        $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ sont confondues.
      \end{enumerate}
    \end{exercice}

