\begin{exercice}[D'après Bac (Asie - 2010)]
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
\begin{center}$f(x) = \dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$.
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Que peut-on en déduire pour la courbe \mbox{représentative} de $f$ dans un repère orthonormé  ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que, $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et :
\begin{center}$f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\e^{\frac{1}{x}}(2x+1)$.\end{center}
		\item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+\infty[$.
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\par
Déterminer la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

