\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles-Guyane - 2009)]
À la sortie d'un four industriel, un objet refroidit au cours du temps. Sa température en degrés Celsius (\degres C) à l'instant $t$ en heures est donnée par la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par :
\begin{center}
$f(t)=a\e^{-\tfrac{t}{2}}+b$ et $f'(t) + \dfrac12f(t)=10$.\end{center}
où $a$ et $b$ sont deux réels.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant qu'initialement, la température de l'objet est 220~\degres C.
\item \begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de  $f$ sur $\mathbb{R}^+$.
		\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.\par
                Quelle interprétation peut-on en donner ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer le moment à la minute près où la \mbox{température} de l'objet est 50~\degres C.
\item Soit la suite $(d_n)_{n\geqslant0}$ où $d_{n} = f(n)-f(n+1)$  est l'abaissement de température de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer  $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$ au dixième près.
	\item Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
    \item Démontrer que $(d_n)$ est décroissante.
    \item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5~\degres C.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

