\begin{methode*1}[Déterminer une limite de fonction avec exponentielles \MethodeRefExercice*{TA4_exo_limite_exp}]
Lorsque une limite de fonction comportant des exponentielles est \emph{a priori} indéterminée (formes « $\dfrac{0}{0}$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $(+\infty)+(-\infty)$ » ou « $0\times \infty$ »), on essaye, selon le cas, de transformer l'écriture ou de changer de variable.

 \exercice \label{TA4_limite_exp}
Déterminer les limites suivantes :

\vspace{.5\baselineskip}
\begin{colenumerate}{3}
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\e^{2x}-x\e^x\right)$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\left(\frac{\e^{\tfrac{1}{x}}+2}{\e^{{\tfrac{1}{x}}}+1}\right)$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\left(\frac{\e^{\tfrac{1}{x}}+2}{\e^{\tfrac{1}{x}}+1}\right)$
\end{colenumerate}

 \correction
 \begin{enumerate}
 \item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\e^{2x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\e^x=+\infty$. Ainsi, par différence, la limite  est indéterminée.\par
Le terme $\e^{2x}$ étant prépondérant, on le met en facteur : $\e^{2x}-x\e^x=\e^{2x}\left(1-\dfrac{x}{\e^x}\right)$.\par
Or,  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$. Donc, par inverse, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$.
Ainsi, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1-\dfrac{x}{\e^x}\right)=1$.\par
Finalement, par produit,  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\e^{2x}\left(1-\dfrac{x}{\e^{x}}\right)=+\infty$. \vspace{-1mm}
 \item Posons $X=\dfrac{1}{x}$. Alors $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}X=\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{1}{x}=-\infty$.
Ainsi,  $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\left(\dfrac{\e^{\tfrac{1}{x}}+2}{\e^{\tfrac{1}{x}}+1}\right)=\lim_{X\to -\infty}\left(\dfrac{\e^X+2}{\e^X+1}\right)$.\par
Or,  $\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}\e^X=0$ donc, par quotient, $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}\left(\dfrac{\e^X+2}{\e^X+1}\right)=2$.\vspace{-1mm}
 \item Posons $X=\dfrac{1}{x}$. Alors $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}X=\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{1}{x}=+\infty$.
Ainsi,  $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\left(\dfrac{\e^{\tfrac{1}{x}}+2}{\e^{\tfrac{1}{x}}+1}\right)=\lim_{X\to +\infty}\left(\dfrac{\e^X+2}{\e^X+1}\right)$.\par
Or,  $\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\e^X=+\infty$ donc, par quotient, la limite est indéterminée.\par
Le terme $\e^X$ étant prépondérant, on multiplie par $\e^{-X}$ numérateur et dénominateur :\par
 $\dfrac{\e^X+2}{\e^X+1}=\dfrac{1+2\e^{-X}}{1+\e^{-X}}$. Or,  $\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\e^{-X}=0$ donc, par quotient, $\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1+2\e^{-X}}{1+\e^{-X}}\right)=1$.
  \end{enumerate}

\vspace{-5mm}
\end{methode*1}

