\begin{methode*1}[Résoudre une équation ou une inéquation avec exponentielles \MethodeRefExercice*{TA4_exo_resolution_exp}]
Pour résoudre une équation d'inconnue $x$ réel comportant des exponentielles :
\begin{enumerate}
\item On détermine l'ensemble des valeurs qu'on peut donner à $x$.
\item On essaye selon le cas de se ramener à :
\begin{itemize}
\item Une équation de la forme $\e^{u(x)} = \e^{v(x)}$ où $u$ et $v$ sont deux fonctions.\par
      Alors, $\e^{u(x)} = \e^{v(x)} \Leftrightarrow u(x)=v(x)$ et, éventuellement, $u(x)=v(x) \Leftrightarrow u(x)-v(x)=0$.
\item Une équation qu'on sait résoudre après avoir effectué un changement de variable.
\end{itemize}
\end{enumerate}
La méthode est analogue pour résoudre une inéquation.
 \exercice \label{TA4_resolution_exp}
Déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions des équations et inéquations.
\begin{colenumerate}{4}
\item $\e^{x^2+2x-3} = 1$  \label{eq} \item $2\e^{2x}-\e^x-1=0$ \label{eqq}
\item  $\e^{\sqrt{3x-5}} < \e$ \item $\dfrac{\e^{2x+1}}{\e^{x-4}}\geqslant \e^{x^2-1}$ \label{ineq}
\end{colenumerate}

\correction Dans les cas \textcolor{A2}{\textbf{1}},
\textcolor{A2}{\textbf{2}} et \textcolor{A2}{\textbf{4}}, $x$ peut
prendre toute valeur réelle, donc on résout dans $\mathbb{R}$.
 \begin{enumerate}
 \item
   $\e^{x^2+2x-3} = 1 \Leftrightarrow \e^{x^2+2x-3} = \e^0
   \Leftrightarrow x^2+2x-3 = 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-1) = 0$.\\
   Donc, $\mathcal{S} = \{-3~;~1\}$.
   \item  $2\e^{2x}-\e^x-1=0 \Leftrightarrow 2\left(\e^{x}\right)^2-\e^x-1=0  \Leftrightarrow  2X^2-X-1=0$ en posant $X=\e^{x}$.\par
$2X^2-X-1=0$ pour $X=-\dfrac{1}{2} $ ou $X=1$. D'où, $\e^{x}=-\dfrac{1}{2}$ (impossible) ou $\e^x=1 \Leftrightarrow x=0$.\par
 Finalement, l'équation  $2\e^{2x}-\e^x-1=0$ n'a que 0 pour solution. Donc, $\mathcal{S}=\{0\}$.
  \item Il faut que $x$ soit tel que $3x-5\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{5}{3}$ donc on résout dans $\left[\dfrac{5}{3}~;~+\infty\right[$.\par
  $\e^{\sqrt{3x-5}} < \e^1  \Leftrightarrow \sqrt{3x-5} < 1 \Leftrightarrow 0 \leqslant 3x-5 < 1  \Leftrightarrow  \dfrac{5}{3} \leqslant   x < 2 $. Donc, $\mathcal{S}=\left[\dfrac{5}{3}~;~2\right[$.
 \item  $\dfrac{\e^{2x+1}}{\e^{x-4}}\geqslant \e^{x^2-1} \Leftrightarrow \e^{2x+1-x+4}\geqslant\e^{x^2-1}\Leftrightarrow \e^{x+5}\geqslant \e^{x^2-1}
  \Leftrightarrow x+5\geqslant x^2-1 \Leftrightarrow x^2-x-6\leqslant0$.\par
Or, $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$. Ainsi, $x^2-x-6\leqslant0$ si $-2\leqslant x \leqslant 3$. Donc, $\mathcal{S}=[-2~;~3]$.
\end{enumerate}

\vspace{-5mm}
\end{methode*1}

