\section{Définition de la fonction exponentielle}

\begin{lemm}
S'il existe une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$, alors elle ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
\end{lemm}

\begin{preuve}
Supposons qu'il existe une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.\\
Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)f(-x)$. \\
$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.\\
Pour tout réel $x$, on a : $h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)\left(-f'(-x)\right)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$.\\
La fonction $h$ est donc constante et égale à $h(0)=f(0)f(0)=1$.\\
Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $h(x)=f(x)f(-x)=1$ ce qui montre que $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.\\
\end{preuve}

