\subsection{Une nouvelle notation}

\begin{definition}
L'image de $1$ par la fonction $\exp$ est notée \MotDefinition{$\boldsymbol{\e}$}[exponentielleb]{}. Ainsi $\exp(1)=\e$.
\end{definition}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
\item $\e$ est appelé nombre d'Euler ou constante de Néper. Comme $\pi$, c'est un nombre irrationnel et transcendant. Sa valeur approchée est : $\e\approx2,718\,281\,828$.
\item Pour tout $n\in \mathbb{Z}$, on a $\exp(n)=\exp(1\times n)=\left(\exp(1)\right)^n=\e^n$.\par
 On étend cette relation aux réels et on peut alors écrire, pour tout réel $x$ :  \fcolorbox{J3}{J3}{$\exp(x)=\e^x$}.\par
 \begin{cadre}[A1][A4]
On peut ainsi réécrire avec une nouvelle notation tout ce qu'on a vu précédemment.\par
La fonction exponentielle est la fonction $x\mapsto \e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.\par
$\e^0=1$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\e^x>0$. De plus,   $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\e^x=+ \infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\e^x=0$.\par
Les autres propriétés écrites ci-après sont analogues aux propriétés des puissances.
\end{cadre}
\end{itemize}
\end{remarques}

