\begin{exercice}[Modèle de Verhulst]
En 1920, Pearl et Reed ont modélisé l'évolution de la \mbox{population} des États-Unis avec une fonction $P$, \mbox{basée} sur le modèle de Verhulst, définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\begin{center}$P(t)=\dfrac{m}{1+\lambda\e^{-amt}}$
\end{center}
où $P(t)$ est en millions d'individus, $t$ en dizaines \mbox{d'années} et les paramètres sont :
\begin{center}$a=1,58\times10^{-3}$, \quad $\lambda=49,2$ \quad et
\quad $m=197,273$.\end{center}
On considère enfin que l'année 1790 correspond à $t=0$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $P$.
\item Déterminer la limite de $P$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
\item D'après ce modèle, quand la population atteindra-t-elle son seuil maximal au million près  ?
\end{enumerate}
\item Le tableau suivant donne le recensement réel de la population américaine pour la période 1790-1910.\vspace{2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|r|}
\hline
\rowcolor{H1} Année & Pop. \\
\hline
1790 & 3,929 \\
\hline
1800 & 5,308 \\
\hline
1810 & 7,240 \\
\hline
1820 & 9,638 \\
\hline
1830 & 12,866 \\
\hline
1840 & 17,069 \\
\hline
\end{tabular}~~
\begin{tabular}{|c|r|}
\hline
1850 & 23,192 \\
\hline
1860 & 31,443 \\
\hline
1870 & 38,558 \\
\hline
1880 & 50,156 \\
\hline
1890 & 62,948 \\
\hline
1900 & 75,995 \\
\hline
1910 & 91,972 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\vspace{2mm}
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on veut vérifier la concordance des données réelles avec le modèle.
\begin{enumerate}
\item Représenter la fonction $P$.
\item Placer les points $A(0~;~3,929)$, $B(10~;~5,308)$, etc.
\item Le modèle est-il satisfaisant ?
\end{enumerate}
\item On intègre des données plus récentes : \vspace{2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|r|}
\hline
\rowcolor{H1} Année & Pop. \\
\hline
1930 & 123,077 \\
\hline
1950 & 152,271 \\
\hline
\end{tabular}~~
\begin{tabular}{|c|r|}
\hline
1970 & 205,052 \\
\hline
1990 & 249,623 \\
\hline
2010 & 309,350 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Placer les cinq points correspondants.\par
 Le modèle est-il encore valable ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


