\begin{exercice}[\hfill\tice]
Soit la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé $(O,~I,~J)$ et
un point mobile $M$ d'abscisse $x$ sur cette courbe.
\begin{center}
\psset{xunit=3.cm,yunit=3.cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-1.3,-0.2)(1.3,2.1)
\psgrid[subgriddiv=5,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-2,0)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.3,-0.2)(1.3,2.1)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(1,1)
 \uput[-135](0,0){$O$}
 \uput[-90](1,0){$I$}
 \uput[135](0,1){$J$}
  \uput[135](-0.8,0.44932896){$M$}
   \uput[-90](-0.8,0){$x$}
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{-1.3}{1}{EXP(x)}
\psline[linecolor=H1!60!black](-0.8,0.44932896)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](-0.8,0.44932896)(-0.8,0)
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](-0.8,0.44932896){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{-2mm}
Le but est de déterminer la position du point $M$ pour que la distance $OM$ soit minimale.
\begin{enumerate}
  \item Conjecturer la valeur de $x$ qui minimise $OM$. \label{conjecture}
  \item Déterminer la distance $OM$ en fonction de $x$.
  \item Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
 \[g(x)=x^{2}+\e^{2x}.\]
  On admet que $g$ est dérivable deux fois.
On note $g'$ la dérivée première de $g$ et $g''$ sa dérivée seconde.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$.
    \item Étudier le signe de $g''(x)$.\par
    En déduire les variations de $g'$.
    \item Démontrer que $g'$ ne s'annule qu'une seule fois sur $\mathbb{R}$ en un réel noté $\alpha$.
    \item En déduire les variations de $g$.
    \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
    \item Quel est le lien entre $OM$ et $g(x)$?
    \item Conclure. Est-ce cohérent avec la conjecture du \RefItem{conjecture} ?
    \item Justifier que $\alpha+\e^{2\alpha}=0$.
  \end{enumerate}
  \item Dans cette question, on utilise un logiciel de \mbox{géométrie} dynamique.
  \begin{enumerate}
          \item Placer le point $M$ d'abscisse $\alpha$ sur  la courbe .
          \item Tracer le segment $[OM]$ et la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe en $M$.
          \item  \label{conjecture2} Émettre une conjecture concernant $(\mathcal{T})$ et $(OM)$ ?
          \item Déterminer un vecteur directeur de $(\mathcal{T})$ et  $(OM)$.
          \item Démontrer la conjecture du \RefItem{conjecture2}.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

