\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=x+1-\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire, c'est-à-dire que, pour tout $x$ réel, $f(-x)=-f(x)$.\par
Comment serait alors représentée $f$ dans un repère ?
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ réel :\vspace{-2mm}
\[f(x)=x+1-\dfrac{2}{1+\e^{-x}}.\]\vspace{-6mm}
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ réel :\vspace{-2mm}
\[f'(x)=\dfrac{\e^{2x}+1}{\left(\e^x+1\right)^2}.\]\vspace{-4mm}
\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

